来源：中科院物理所
很小的时候，我就开始好奇音乐与数学之间的关系了。我五岁左右的时候，祖父为我拉小提琴，至今我仍记忆犹新。后来他通过自己的物理书从不同的角度向我解释了这个问题，他自己年轻时也曾研究过这些问题。在关于声音的那一章里，有一个音符A，在它旁边是个数字440，这个数是这个音符的频率。这是我第一次意识到数字在音乐中所扮演的角色，这幅画面深深地印刻在我脑海中。虽然我祖父的小提琴不在了，但他的音叉却保存了下来；尽管生锈了，它仍然以每秒440个周期的频率忠实地振动。最近我把它送给了我学打击乐的孙子。我希望有一天他能把它传给他的孙子孙女们。
但仅仅研究音乐是不够的：必须演奏音乐。我用竖笛开始了我的音乐之旅。巴罗克时代有很多作品都是为这种简单的乐器而作的，但是为了欣赏古典音乐（这里的“古典”指的是海顿、莫扎特和贝多芬的时代，大约在1750年到1830年之间），竖笛是不行的，所以我拿起了单簧管。这种乐器是莫扎特最喜欢的管乐器，他为它写了一些他最杰出的音乐，或者更确切地说，为他的朋友单簧管演奏家安东·斯塔德勒写的。单簧管有一个不寻常的特点，当你打开乐器背面的拇指孔时，声音不会像大多数木管乐器那样上升一个八度，而是上升了12度一个八度加五度。这引起了我极大的兴趣，使我对管乐器的声学产生了深刻的思索。一根空气柱可以振动，产生一种像小提琴弦一样的音乐声音，尽管这种振动是完全处于无形之中的：你能听到它们，但你看不见它们。这一事实太令我着迷，到现在也依然如此。
音乐和数学总是紧密地交织在一起。任何玩过乐器的人都知道乐谱上的每一页都有数学的痕迹——从设定乐曲节奏的时间标记，到决定乐曲演奏速度的节拍器数字；当然，演奏音乐本身就要求我们数1、2、3……然后把这些数字分组，称为小节。因此，数学对音乐产生重大影响也就不足为奇了。更不为人知的是，这种影响是双向的。
活跃于公元前6世纪的古希腊哲学家毕达哥拉斯可能是第一个发现音乐和数学之间定量关系的人。通过对绷紧的弦进行实验，他发现把一根弦的有效长度缩短到原来长度的一半时，就能把音调提高一个八度。其他弦长度的比例产生更小的音程：2/3对应的是第五个音符的音程（之所以这么叫，是因为它是从基音符向上的第五个音符），3/4对应于第四个，等等。毕达哥拉斯还发现，将两个比率相乘就等于将它们的区间相加：（2/3）x（3/4） = 1/2，所以第五音符的音程加上第四音符刚好等于一个八度。在此过程中，他不知不觉地提出了历史上第一个对数定律。
一个八度中，第五度和第四度产生了悦耳的音调或辅音组合，然而更复杂的比例，如9：8或15：16，会导致不和谐的音调。这一发现给毕达哥拉斯学派留下了深刻的印象，促使他们相信宇宙中的一切——从音乐和谐的规律到太阳、月亮和五大行星的运动——都是由简单的整数比例控制的。“数字支配宇宙”是毕达哥拉斯的座右铭。在接下来的两千年里，它将主导科学思想。
古希腊传统中，音乐的地位与算术、几何和天文学相当，和这三门学科加在一起构成了“四艺”，这是一个有学问的人应该掌握的四门学科的核心课程。然而，我们应该注意到，“算术”一词对毕达哥拉斯学派的意义与今天不同：它的意思是数论，研究整数的性质，而不是用数字计算所需的实际技能。同样，毕达哥拉斯学派认为四艺中的音乐成分是指音乐理论——对和谐的研究，而不是演奏音乐的实践。这是毕达哥拉斯学派对待一切实际事物都持冷漠态度的典型表现。他们的世界是一个完美的宇宙，由美、对称与和谐所支配。
尽管毕达哥拉斯的著作没有流传下来，但是“数字支配宇宙”成为一代又一代科学家和哲学家的座右铭，他们试图用音乐的比例或简单优雅的几何图形来解释宇宙的奥秘。例如，行星必须以完美的圆形轨道绕地球运行；对于古希腊人来说，除了完全对称的圆之外，任何形状都是不可想象的。这都是他们对一个由美与和谐所构成的宇宙的宏大观点之一——他们的“音乐宇宙”，或者说是天体的音乐。
在最后一批毕达哥拉斯学派中，著名的德国天文学家约翰内斯·开普勒（1571-1630）是现代天文学之父之一。开普勒是一位虔诚的神秘主义者，同时也是哥白尼日心说的忠实信徒。他花了大半生的时间，试图从音乐的和谐中推导出行星运动的规律。他认为，每颗行星在围绕太阳运动时，都会发出频率低于我们可听到的频率范围的声音（更不用说它是在声音无法传播的真空中产生的）。他甚至为每颗行星指定一首天籁之音，并把它写在乐谱上——复兴了著名的“音乐宇宙”。经过几十年的摸索，开普勒终于放弃了希腊的圆形轨道，代之以椭圆轨道。
在开普勒之后的半个世纪后，牛顿提出了万有引力定律，从而为行星轨道提供了一个理性的数学解释，并在天体可能的轨道上添加了抛物线和双曲线。但他也痴迷于音乐的比例，设计了一种“回文音阶”，在这种音阶中，无论向上还是向下，音程都是相同的：9：8、16：15、10：9、9：8、10：9、16：15、9：8。他将其与光谱中的七种彩虹颜色进行了比较。
牛顿和莱布尼茨在1666年至1676年的十年间分别独立开发的微分和积分学，使把数字比例和音乐和谐之间的关系建立在坚实的数学基础上成为可能。微积分能够解决的一个典型问题是找到振动弦的确切形状和它发出的声音的性质。它是无穷多个有自己独立频率和振幅的正弦波或纯音的叠加吗？或者是沿着弦的长度来回传播的波的组合？在后来被称为“伟大的弦辩论”中，欧洲四位最重要的数学家——丹尼尔·伯努利、莱昂哈德·欧拉、让·勒隆德·达朗贝尔和约瑟夫·路易斯·拉格朗日——就这个问题展开了激烈的辩论，并在此过程中奠定了后微积分分析的基础。
但直到半个世纪后，著名的法国数学物理学家让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶（1768 - 1830）才提出：每一个受到一定的限制的周期函数，都可以写成无穷个纯正弦或余弦函数的线性组合，并且这些正弦或余弦函数的频率是最小频率的整数倍。这些独立的正弦波被称为泛音或谐波；它们是所有声音的组成部分，它们赋予每一种声音特有的音色或音质——这让我们可以区分小提琴和单簧管声音，即使它们演奏的是同一个音符。
随着对音乐的兴趣愈发浓厚，我逐渐走出巴洛克-古典-浪漫主义时期（大约1600年至1900年），转向现代音乐。在20世纪60年代，仍然有很多关于阿诺德·勋伯格和他的无调性音乐的讨论。他在20世纪初设计出了这类音乐，坚信它应该取代古典音乐的神圣基石：调性原则。调性要求一段音乐应该围绕一个给定的键，称为主音，如C大调或G小调。当然，随着乐曲的发展，它可能会从指定的键偏离到相关键，甚至是远程键，但最终它会回到主音。因此，琴键就像一个音乐参照系，每个音符都与主音有特定的关系；例如，在C大调的调式中，G（高于C的五分之一）为”主导音”，而C下的F为“次主导音”。但是在19世纪下半叶，作曲家们逐渐不再严格遵循调性原则，使得人们很难理解音乐与主音之间的关系。勋伯格认为调性的时日已尽，决心用“音列”来取代它。在一个音列中，半音音阶的12个音符每一个都只出现一次；只有在这个音列完成之后，才能重复出现上一个音列的音符。这给作曲家提供了数量惊人的组合选择：1 x 2 x 3 x … x 12 = 479，001，600。在十二音乐体系中，民主主义有充分的体现：每一个音符都是平等的。每一个音符都只与系列中的前一个音符有关；不同音符在主音上所扮演的角色已经不复存在。它的核心是一个数学系统，勋伯格决心把它应用到音乐上。
1934年4月1日，利奥波德·戈多斯基、阿尔伯特·爱因斯坦和阿诺德·勋伯格在纽约卡内基音乐厅。
作为一名数学家，我发现勋伯格的十二音乐体系和阿尔伯特·爱因斯坦的广义相对论有着惊人的相似之处，就好像音乐和物理学的经典结构同时发生了类似的分解。1905年，爱因斯坦给了以太致命的一击：没有以太，没有绝对静止的单一宇宙参照系；相反，每个观察者都有他或她自己的参照系，惯性参考系只在离观察者无穷近的地方建立。人们不能不注意到它与勋伯格的无调性音乐的相似之处，在他的无调性音乐中，每一个音符都只与音列中的前一个音符有关。你可以称之为相对论音乐。
勋伯格和爱因斯坦几乎是同时代的人，都出生在一个中产阶级犹太家庭，出生时间相隔不到五年。他们的母亲都叫波琳，都喜爱古典音乐，所以这两个孩子是在热爱音乐的家庭中熏陶长大的。他们的职业生涯都是从底层员工开始的——勋伯格在维也纳当银行职员，爱因斯坦在伯尔尼的瑞士专利局当职员。在年轻的时候，他们都放弃了传统的犹太教，但由于深受反犹太主义的兴起和随之而来的大屠杀的影响，他们在晚年才回到了犹太教。两人基本上都是自学成才的：勋伯格从未接受过正规的音乐教育，而爱因斯坦（尽管他毕业于苏黎世大学）则是通过自学19世纪伟大的物理学论文汲取知识的。
1933年纳粹掌权后，两人都移民到了美国。勋伯格立刻去掉了他原来名字中的德语umlaut——Schonberg，而爱因斯坦不得不习惯他美式英语（在德语中读作“Einshtein”）。两人都热情地追求着自己的爱好——勋伯格是一位画家和网球爱好者，爱因斯坦拉着他标志性的小提琴或者在他的小帆船上享受远足。他们还喜欢摆弄小玩意：勋伯格致力于音乐打字机的设计，而爱因斯坦和他的物理学家同事里奥·西拉德（Leo Szilard）发明了冰箱并申请了专利。在纳粹从开除德国大学所有犹太教授之后，两人都夜以继日地帮助流离失所的学者在避难国找到工作。勋伯格和爱因斯坦都没有再踏上欧洲的土地（尽管勋伯格的遗体被埋葬在他的故乡维也纳），他们都在76岁去世。
爱因斯坦和勋伯格的革命性思想是在其他领域发生突破性变革的背景下产生的，这些变革都发生在19世纪末20世纪初的时候。古斯塔夫·马勒首演了他的第一部交响曲《泰坦》（1889年），由作曲家亲自指挥。西格蒙德·弗洛伊德发表了他的第一部重要著作《梦的解析》（1900），巴勃罗·毕加索进入了他的“蓝色时期”（1901-1904），马克斯·普朗克将一个很快可以彻底改变所有科学的新概念引入物理学：能量量子。如果这还不够，德国伟大的数学家大卫•希尔伯特在世纪之交，挑战第二届国际数学家大会。他在1900年巴黎举行的第二届国际数学家大会提出了23个未解决的问题的解决方案，他认为这对数学的未来发展至关重要的——事实也证明如此。
这些发展是否对爱因斯坦和勋伯格的思想有任何影响还很难说，但它揭示了这个新世界的几位演员积极地投身于音乐：爱因斯坦的小提琴；普朗克是一位多才多艺的钢琴家；诺贝尔奖得主、物理学家维尔纳•海森堡（Werner Heisenberg）在转向量子力学之前，曾认真考虑过从事音乐事业。
在毕达哥拉斯寻求将音乐和数学统一在一个框架时，也许他终究是对的。
